Carlos Castillo

La estimación es un procedimiento que consiste en encontrar un valor a partir de una muestra que represente una buena aproximación del valor desconocido de un parámetro θ. En la práctica, se supone que la variable aleatoria X, proveniente de una población, tiene una determinada distribución de probabilidad, luego se toma una muestra (o muestras) de n observaciones y con los datos de la muestra se procede a estimar los parámetros de dicha población.

Esta estimación puede estar dada por un único valor experimental obtenido a partir de la muestra y se denomina estimación puntual; o puede estar dada por un conjunto de valores que constituyen un intervalo experimental, cuyos extremos son obtenidos a partir de la muestra; se espera que dicho intervalo contenga el verdadero valor del parámetro con cierto grado de seguridad o confianza medido en términos de probabilidad; a esta se le denomina estimación por intervalos de confianza.

PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR PUNTUAL

Un buen estimador puntual debe poseer las siguientes propiedades: insesgabilidad, consistencia, suficiencia y eficie

1 Insesgabilidad

Se dice que un estimador

uficiencia

Un estimadorde un parámetro desconocido θ es suficiente si a medida que el tamaño de muestra n aumenta; es decir, tiende hacia el tamaño de la población (n → N), entonces proporciona una mayor información de la población. Por ejemplo, la media muestral (), al tomar en su cálculo a todos los valores de la muestra, es un estimador suficiente de μ; en tanto la mediana y la moda no lo son.

2.4 Eficiencia

. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

La estimación puntual se realiza determinando un único valor para estimar el parámetro correspondiente; pero ¿qué tan precisa es la estimación?; indudablemente, no es posible contestar este tipo de preguntas con los conocimientos adquiridos hasta este punto; por ello, es necesario introducir el concepto de estimación por intervalos, en el cual la estimación está dada por un conjunto de valores.

Definición. La estimación por intervalos consiste en encontrar, mediante una muestra aleatoria, dos valores a y b tales que: P(a ≤ θ ≤ b) = (1−α); donde θ es el parámetro por estimar y (1−α)100% se denomina nivel de confianza; a y b son los límites del intervalo de confianza que varían de una muestra a otra.

Si a y b son funciones de las observaciones para muestras de tamaño n, para una determinada muestra asumen valores específicos.

La estimación por intervalos de confianza tiene las siguientes ventajas sobre la estimación puntual: precisión (dada por la amplitud del intervalo), y confiabilidad, expresada en términos de probabilidad.

4.1 Intervalo de confianza para la media poblacional μ

Se desea estimar la media μ con una confianza de (1−α) para muestras de tamaño n; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: μ〈a; b〉, con una confianza del (1−α)100%. Como las distribuciones muestrales asociadas ason dos

.3 Intervalo de confianza para la varianza poblacional (σ2)

Se desea estimar la varianza poblacional (σ2) de una población normal con una confianza de (1−α)100 % basado en una muestra aleatoria de tamaño n; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: σ2〈a; b〉, con una confianza de (1−α)100 %. En este caso se emplea la distribución Ji-cuadrado con 1−n− grados de libertad; y se concluye que:

con una confianza de (1−α)100 %.

.4 Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones (π1 − π2)

Se desea estimar la diferencia de proporciones poblacionales π1 − π2 con una confianza del (1−α)100 %, basados en muestras de tamaño n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30; esto equivale a encontrar dos valores a y b tales que: (π1 − π2)〈a; b〉 con una confianza del (1−α)100 %.

Si n1 → ∞ y n2 → ∞, se puede usar la distribución normal estándar y se concluye que:

Con una confianza del (1−α)100 %.

Nota. Si el intervalo contiene al cero, entonces se concluye que las proporciones son iguales en ambas poblaciones, en caso contrario son diferentes.