Esta monografía ofrece una revisión enteramente novedosa del campo usualmente denominando «filosofía (de la) matemática». Allende análisis y síntesis, se introducen nuevos modelos (RTHK) para captar toda la complejidad de la matemática, entendida como forma de pensamiento general, donde se incorpora de manera potente un estrato de ideas, imágenes y métodos que entra en diálogo con otro estrato de técnicas, definiciones y pruebas. Mediante modelos de Kripke (K), se vislumbran consideraciones históricas que permiten manejar simultáneamente perspectivas externalistas e internalistas en la historia de la ciencia. Con los haces (H), se estudian interpretaciones fenomenológica sobre la variabilidad y la permanencia local de los fenómenos matemáticos. Usando topos (T), se plantean investigaciones metafísicas sobre la existencia de arquetipos matemáticos que emergen de diversos tipos subyacentes y que, a su vez, se proyectan sobre ellos. Finalmente, gracias a las superficies de Riemann ®, se exploran diversas ramificaciones culturales del modelo (THK) hacia la literatura, el arte, la música, el cine.
El resultado plantea el inicio de una plena crítica matemática, que debería empezar a surgir paralelamente a la crítica literaria, la crítica de arte, la crítica musical o la crítica cinematográfica. Considerando las obras matemáticas como grandes formas de expresión creativa, un back-and-forth entre lo concreto y lo abstracto, entre lo particular y lo universal, entre el detalle técnico y el fondo filosófico, recorre multitud de ejemplos de las matemáticas avanzadas, de Galois a Grothendieck, que se reflejan y se entrelazan con muy diversas manifestaciones culturales. La «filosofía (de la) matemática» tiende así a abrirse hacia una «crítica (de la) matemática», que parece ser mucho más afín para captar el hacer propio y específico de la disciplina.
